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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8. Sea $f^{\prime}(x)=5 x^{3}-13 x^{2}-6 x$ la derivada de una función $f$. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
Respuesta
Acá nos dan de dato la derivada, no la función, ¡¡¡¡ojo ahí por faavaaaaaaarr!!!
Entonces, hay varias cosas que no vamos a poder informar, como el dominio de la función o las coordenadas $y$ de los extremos locales. Pero sí podemos saber si la función crece o decrece o en qué valor de $x$ tienen los extremos locales (máximos y mínimos). ¡Así que vamos a hacerlo!
Ya tenemos la derivada de la función \( f'(x) = 5x^3 - 13x^2 - 6x \).
Buscamos los puntos críticos, donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 5x^3 - 13x^2 - 6x = 0 $
Factorizamos:
$ x(5x^2 - 13x - 6) = 0 $
Por un lado nos queda que $x=0$ y por el otro una cuadrática igualada a cero.
Resolvemos la ecuación cuadrática \( 5x^2 - 13x - 6 = 0 \):
Hacemos la resolvente sabiendo que $ a = 5, \; b = -13, \; c = -6 $
$ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 120}}{10} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{13 \pm 17}{10} $
$ x_1 = 3, \; x_2 = -\frac{2}{5} $
Y el punto \( x = 0 \) que teníamos de cuando factorizamos)
Entonces los PCs son:
$ x = 0, \; x = 3, \; x = -\frac{2}{5} $
Ahora usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -\frac{2}{5}) \): \( f'(-1) = 5(-1)^3 - 13(-1)^2 - 6(-1) = -5 - 13 + 6 = -12 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\frac{2}{5}, 0) \): \( f(-0,1) = 5(-0,1)^3 - 13(-0,1)^2 - 6(-0,1) = -0,05 - 0,13 + 0,6 = 0,415 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 3) \): \( f'(1) = 5(1)^3 - 13(1)^2 - 6(1) = 5 - 13 - 6 = -14 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (3, +\infty) \): \( f'(4) = 5(4)^3 - 13(4)^2 - 6(4) = 320 - 208 - 24 = 88 \). Es decir que \( f \) crece.
Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -\frac{2}{5} \), \( x = 0 \) y \( x = 3 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -\frac{2}{5} \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 3 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Respuesta:
Intervalo de crecimiento: \( \left(-\frac{2}{5}, 0\right) \cup (3, +\infty) \)
Intervalo de decrecimiento: \( (-\infty, -\frac{2}{5}) \cup (0, 3) \)
Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, f(0)) \)
Mínimo relativo en \( x = -\frac{2}{5} \) con coordenada \( \left(-\frac{2}{5}, f\left(-\frac{2}{5}\right)\right) \)
Mínimo relativo en \( x = 3 \) con coordenada \( (3, f(3)) \)
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