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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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8. Sea $f^{\prime}(x)=5 x^{3}-13 x^{2}-6 x$ la derivada de una función $f$. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.

Respuesta

Acá nos dan de dato la derivada, no la función, ¡¡¡¡ojo ahí por faavaaaaaaarr!!!


Entonces, hay varias cosas que no vamos a poder informar, como el dominio de la función o las coordenadas $y$ de los extremos locales. Pero sí podemos saber si la función crece o decrece o en qué valor de $x$ tienen los extremos locales (máximos y mínimos). ¡Así que vamos a hacerlo!


Ya tenemos la derivada de la función \( f'(x) = 5x^3 - 13x^2 - 6x \). Buscamos los puntos críticos, donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 5x^3 - 13x^2 - 6x = 0 $
Factorizamos:
$ x(5x^2 - 13x - 6) = 0 $


Por un lado nos queda que $x=0$ y por el otro una cuadrática igualada a cero.
Resolvemos la ecuación cuadrática \( 5x^2 - 13x - 6 = 0 \):
Hacemos la resolvente sabiendo que  $ a = 5, \; b = -13, \; c = -6 $
$ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 120}}{10} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{13 \pm 17}{10} $
$ x_1 = 3, \; x_2 = -\frac{2}{5} $
Y el punto \( x = 0 \) que teníamos de cuando factorizamos)



Entonces los PCs son: $ x = 0, \; x = 3, \; x = -\frac{2}{5} $ Ahora usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -\frac{2}{5}) \): \( f'(-1) = 5(-1)^3 - 13(-1)^2 - 6(-1) = -5 - 13 + 6 = -12 \). Es decir que \( f \) decrece.

-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\frac{2}{5}, 0) \): \( f(-0,1) = 5(-0,1)^3 - 13(-0,1)^2 - 6(-0,1) = -0,05 - 0,13 + 0,6 = 0,415 \). Es decir que \( f \) crece.

-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 3) \): \( f'(1) = 5(1)^3 - 13(1)^2 - 6(1) = 5 - 13 - 6 = -14 \). Es decir que \( f \) decrece.

-> Para \( x \) en Intervalo \( (3, +\infty) \): \( f'(4) = 5(4)^3 - 13(4)^2 - 6(4) = 320 - 208 - 24 = 88 \). Es decir que \( f \) crece.

Evaluamos los máximos y mínimos

Los puntos \( x = -\frac{2}{5} \), \( x = 0 \) y \( x = 3 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:

-> \( x = -\frac{2}{5} \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.

-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.

-> \( x = 3 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
   

Respuesta: Intervalo de crecimiento: \( \left(-\frac{2}{5}, 0\right) \cup (3, +\infty) \) Intervalo de decrecimiento: \( (-\infty, -\frac{2}{5}) \cup (0, 3) \) Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, f(0)) \) Mínimo relativo en \( x = -\frac{2}{5} \) con coordenada \( \left(-\frac{2}{5}, f\left(-\frac{2}{5}\right)\right) \) Mínimo relativo en \( x = 3 \) con coordenada \( (3, f(3)) \)
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Avatar alisson 29 de octubre 19:30
Profesora July yo derive algo así pero no me sale las dos respuestas, ¿ digamos que solo funciona para ecuaciones especificas? 2024-10-29%2019:29:55_4665811.png
Avatar Julieta Profesor 31 de octubre 12:38
@alisson Hola Ali! Es que justamente, mirá el inicio de la respuesta. Ya te dan la derivada, no tenés que derivar nada.

Por cierto.. Me cuesta mucho ver las imágenes torcidas😞
Avatar Candelaria 27 de octubre 19:04
Hola Juli! El max/mín, siempre se dice que es relativo?
Avatar Julieta Profesor 31 de octubre 12:34
@Candelaria Sí, porque la verdad es que no vemos en esta materia el estudio de máximos o mínimos absolutos. Los máximos o mínimos relativos (también llamados locales) describen puntos en los cuales una función alcanza valores máximos o mínimos en un intervalo pequeño alrededor de esos puntos. Simplemente eso, pero sí. Podés ponerle relativo o no ponerle nada y va a estar genial
Avatar N 4 de junio 21:57
Hola! cómo sé cuándo es max realtivo o minimo relativo?
Avatar Julieta Profesor 8 de junio 07:06
@N ¡Hola! Eso lo vemos en el video de estudio de funciones con la derivada
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